ARC163D Sum of SCC 做题记录

给定 $n,m$，求满足以下条件的 $n$ 个点的有向图 $G$ 的个数：

• $G$ 是个竞赛图，即 $G$ 没有重边和自环且对于所有 $1\le i<j\le n$ 均满足 $(i\to j)\in G$ 和 $(j\to i)\in G$ 中只有一个满足；
• 只有 $m$ 个 $(i,j)$ 满足 $1\le i<j\le n$ 且 $(i\to j)\in G$；
  求所有满足条件的 $G$ 中的强连通分量的个数和，对 $998244353$ 取模。
  $1\le n\le 30$，$1\le m\le \frac{n(n-1)}{2}$。

首先有一个结论：

$n$ 个点的竞赛图 $G$ 中的 SCC（strongly connected components）个数等价于：

把 $\{1,2,3,\dots,n\}$ 划分为两个集合 $A$ 和 $B$（可以为空）使得 $\forall u\in A,v\in B$，$(i\to j)\in G$ 的方案数减一

证明：

考虑缩点，缩完点后的图显然还是竞赛图且是个 DAG，那么它的拓扑序唯一，设其为 $\{scc_1,scc_2,scc_3,\dots,scc_{sz}\}$，那么显然 $\forall 0\le i\le sz$，$A=\{scc_1,scc_2,\dots,scc_i\},B=\{scc_{i+1},scc_{i+2},\dots,scc_{sz}\}$ 是合法的，这样划分一共有 $sz+1$ 种方案。

而其它划分方法显然不合法，得证。

考虑设 $f_{i,j,k}$ 为加入了编号 $[1,i+j]$ 的点，$|A|=i,|B|=j$，从编号小的点连向编号大的点的边有 $k$ 条的方案数，那么转移考虑新加入一个编号最大的点 $i+j+1$：

$\begin{cases} \binom{i}{l}f_{i,j,k}\to f_{i+1,j,k+j+l}\\ \binom{j}{l}f_{i,j,k}\to f_{i,j+1,k+l} \end{cases}$

答案即为 $\sum\limits_{i+j=n}f_{i,j,m}-\binom{\frac{n(n-1)}{2}}{m}$，时间复杂度 $O(n^3m)$。

代码如下：

// Problem: [ARC163D] Sum of SCC
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc163_d
// Memory Limit: 1 MB
// Time Limit: 2000 ms
// 
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#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int S=1005,MS=35,p=998244353;

int n,m;
int C[S][S];
int f[MS][MS][S];

inline void add(int &x,int y)
{
	x+=y;
	if(x>=p) x-=p;
}

int main()
{
	C[0][0]=1;
	for(int i=1;i<=S-3;i++)
	{
		C[i][0]=1;
		for(int j=1;j<=i;j++) C[i][j]=(C[i-1][j]+C[i-1][j-1])%p;
	}
	scanf("%d%d",&n,&m);
	f[0][0][0]=1;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=n-i;j++)
		{
			for(int k=0;k<=m;k++)
			{
				for(int l=0;l<=i&&k+j+l<=m;l++) add(f[i+1][j][k+j+l],1ll*C[i][l]*f[i][j][k]%p);
				for(int l=0;l<=j&&k+l<=m;l++) add(f[i][j+1][k+l],1ll*C[j][l]*f[i][j][k]%p);
			}
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=0;i<=n;i++) add(ans,f[i][n-i][m]);
	add(ans,p-C[n*(n-1)/2][m]);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}