B 君在玩一个游戏,这个游戏由 个灯和 个开关组成,给定这 个灯的初始状态,下标为从 到 的正整数。
每个灯有两个状态亮和灭,我们用 来表示这个灯是亮的,用 表示这个灯是灭的,游戏的目标是使所有灯都灭掉。
但是当操作第 个开关时,所有编号为 的约数(包括 和 )的灯的状态都会被改变,即从亮变成灭,或者是从灭变成亮。
B 君发现这个游戏很难,于是想到了这样的一个策略,每次等概率随机操作一个开关,直到所有灯都灭掉。
这个策略需要的操作次数很多,B 君想到这样的一个优化。如果当前局面,可以通过操作小于等于 个开关使所有灯都灭掉,那么他将不再随机,直接选择操作次数最小的操作方法(这个策略显然小于等于 步)操作这些开关。
B 君想知道按照这个策略(也就是先随机操作,最后小于等于 步,使用操作次数最小的操作方法)的操作次数的期望。
这个期望可能很大,但是 B 君发现这个期望乘以 的阶乘一定是整数,所以他只需要知道这个整数对 取模之后的结果。
。
不难发现按下同一个灯的开关两次相当于没按,并且一定有解,因为可以倒着跑,遇到亮着的灯直接关掉。然后不难发现这是唯一解。
所以可以设 表示从 还有 个灯的 开关按下状态 和解不同转移到有 个不同的期望次数,那么有:
并且有 。
那么设当前还有 个灯的开关按下状态和解不同,答案即为 。
注意特判刚开始就满足的情况。
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int S=100005,p=100003;
int n,k;
int a[S];
int cnt,dp[S];
inline int qpow(int x,int y)
{
int res=1;
for(;y>0;y>>=1,x=1ll*x*x%p) res=(y&1)?1ll*res*x%p:res;
return res;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for(int i=n;i>=1;i--)
{
if(a[i])
{
cnt++;
for(int j=1;j*j<=i;j++)
{
if(i%j==0)
{
a[j]^=1;
if(j*j!=i) a[i/j]^=1;
}
}
}
}
// printf("%d\n",cnt);
if(cnt<=k)
{
for(int i=1;i<=n;i++) cnt=1ll*cnt*i%p;
printf("%d\n",cnt);
return 0;
}
dp[n]=1;
for(int i=n-1;i>=1;i--) dp[i]=1ll*(i+1ll*(n-i)*(1+dp[i+1])%p)*qpow(i,p-2)%p;
int ans=k;
for(int i=k+1;i<=cnt;i++) ans=(ans+dp[i])%p;
for(int i=1;i<=n;i++) ans=1ll*ans*i%p;
printf("%d\n",ans);
return 0;
}