P3802 小魔女帕琪 做题记录

有 $a_i$ 个 $i$（$1\le i\le 7$），每次从所有未选的数中等概率随机选出一个，接在最后面，求连续 $7$ 个互不相同的数的组数的期望。

$1\le a_i\le 10^9$，$\sum a_i\le 10^9$。

看了一下题解才会……

首先设 $S=\sum\limits_{i=1}^7a_i$，那么前 $7$ 次施法按顺序触发技能的概率为：

$\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}$

不过顺序是不重要的，因为从 $S$ 个元素中选 $7$ 个不同的元素的概率是一样的。

所以前 $7$ 次施法触发技能的概率为：

$7!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}$

考虑前 $7$ 次触发技能后的第 $8$ 次施法，可以枚举第一次施的魔法类型，那么第 $8$ 次施法也触发技能的概率为：

$7!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}\times\sum\limits_{i=1}^7\dfrac{a_i-1}{S-7}$

容易发现最后那个求和的值为 $1$，也就是说概率不变。

那么答案即为：

$(S-6)\times7!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}$

也就是：

$7!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times a_7$