P3802 小魔女帕琪 做题记录

aia_iii1i71\le i\le 7),每次从所有未选的数中等概率随机选出一个,接在最后面,求连续 77 个互不相同的数的组数的期望。

1ai1091\le a_i\le 10^9ai109\sum a_i\le 10^9

看了一下题解才会……

首先设 S=i=17aiS=\sum\limits_{i=1}^7a_i,那么前 77 次施法按顺序触发技能的概率为:

a1S×a2S1×a3S2×a4S3×a5S4×a6S5×a7S6\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}

不过顺序是不重要的,因为从 SS 个元素中选 77 个不同的元素的概率是一样的

所以前 77 次施法触发技能的概率为:

7!×a1S×a2S1×a3S2×a4S3×a5S4×a6S5×a7S67!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}

考虑77 次触发技能后的第 88 次施法,可以枚举第一次施的魔法类型,那么第 88 次施法也触发技能的概率为:

7!×a1S×a2S1×a3S2×a4S3×a5S4×a6S5×a7S6×i=17ai1S77!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}\times\sum\limits_{i=1}^7\dfrac{a_i-1}{S-7}

容易发现最后那个求和的值为 11,也就是说概率不变。

那么答案即为:

(S6)×7!×a1S×a2S1×a3S2×a4S3×a5S4×a6S5×a7S6(S-6)\times7!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times\dfrac{a_7}{S-6}

也就是:

7!×a1S×a2S1×a3S2×a4S3×a5S4×a6S5×a77!\times\dfrac{a_1}{S}\times\dfrac{a_2}{S-1}\times\dfrac{a_3}{S-2}\times\dfrac{a_4}{S-3}\times\dfrac{a_5}{S-4}\times\dfrac{a_6}{S-5}\times a_7