给定 $n$ 和 $k$，有 $n$ 个 $< 2^k$ 的非负整数变量 $x_1,x_2,\dots,x_n$，其中 $x_i$ 的取值范围是 $[l_i,r_i]$。

给出数列 $c_0,c_1,\dots,c_{K-1}$，并由此定义一个代价函数 $f(x)$：

$f(x)=\sum_{i=0}^{k-1}(\lfloor\tfrac x{2^i}\rfloor\bmod 2)\cdot c_i$

确定每个变量的取值，使得 $\sum_{i=2}^nf(x_i\oplus x_{i-1})$ 最小，输出该最小值。

$2\le n\le50$，$1\le k\le50$，$0\le l_i\le r_i< 2^k$，$0\le c_i\le10^{12}$。

给定一棵 $n$ 个点的无根树，每条边有一个未知的正整数边权。

对于所有的 $1 \le i < n$，给出点 $i$ 到点 $i + 1$ 的距离 $d_i$，请还原出任意一组合法的边权，可能无解。

$2\le n\le 10^5$，$1\le d_i\le 10^{12}$。

对于排列 $\{p_i\}$，定义一次操作为按顺序执行以下步骤：

1. 令 $p_i$ 为排列中最大的满足 $p_i\neq i$ 的数；
2. 令 $p_j$ 为排列中最小的满足 $j>i$ 的数；
3. 交换 $p_i$ 和 $p_j$；
   定义 $f(p)$ 为将 $p$ 升序排序所需的操作次数。

给定一个排列 $p$，会进行 $q$ 次交换 $p_{x_i},p_{y_i}$ 的操作，每次操作后输出 $f(p)$，交换操作是永久的。

$2\le n\le 5\times 10^5$，$1\le q\le 5\times 10^4$。

有 $n$ 个台灯，初始时都是暗的，每次等概率随机一个暗台灯将其点亮，若点亮后存在一个长度为 $k$ 的连续段有大于一个台灯被点亮则立刻停止，求期望点亮多少台灯。对 $10^9+7$ 取模。

$2\le k\le n\le 10^5$。

对于一个 01 序列 $b$，定义 $f(b)=\frac{\sum\limits [b_i=1]}{|b|}$，即 $b$ 中 $1$ 的个数除以它的长度。

现给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ 和一个正整数 $m$，请你找到 $a$ 的若干不相交子串使得这些它们拼起来后得到的 01 串 $p$ 满足 $|p|=m$ 且 $f(p)=f(a)$。输出方案。

$1\le m\le n\le 2\times 10^5$。

题目链接

给定一张 $n$ 个点 $m$ 条边的无向图，一开始所有边都没有被染色。Alice 和 Bob 在这张图上轮流操作直到所有边都被染色，Alice 先手。他们的操作为：

• Alice：选择一条没被染色的边，染上红色；
• Bob：选择一条没被染色的边，染上蓝色；

若最终被染上蓝色的边连通了整张图，那么 Bob 赢，否则 Alice 赢。

若两个人都足够聪明，求谁会赢。

$1\le n\le 10$，$1\le m\le \min(\frac{n(n-1)}{2},30)$。

给定一个 $n$ 个点 $m$ 条边的图 $G$，有一些边有向，剩下的边无向。你要给每条无向边定向使得定向后的有向图 $H$ 强连通。输出方案。

$1\le n,m\le 5000$。

给定一个长 $n$ 的正整数序列 $a_i$，Alice 会把整个序列任意排列，然后 Bob 可以进行任意次操作，每次选择两个相邻的互质的数交换位置。

Alice 希望最终序列的字典序尽量小，而 Bob 希望字典序尽量大。

若 Alice 和 Bob 都足够聪明，求最终序列。